Șirul lui Rolle este una dintre cele mai utile scheme de lucru pentru exercițiile cu derivate de la Bac. Nu este o formulă pe care să o memorezi mecanic, ci un mod ordonat de a transforma derivata unei funcții într-un răspuns despre monotonie, extreme și numărul de soluții ale unei ecuații.
Problema rezolvată mai jos este cea din Bacalaureat 2026, sesiunea iunie–iulie, Matematică M_șt-nat (M2), varianta 3, Subiectul al III-lea, problema 1. Captura exercițiului este uneori distribuită fără antet, de aceea merită precizat profilul corect. Metoda folosită este însă importantă și pentru elevii de la M_mate-info (M1), unde cerințele de același tip pot avea un parametru sau un studiu mai amplu.
Subiectul și baremul pot fi verificate în pagina oficială a subiectelor Bacalaureat 2026, în arhiva probei E.c) din 1 iulie 2026.
Ce este șirul lui Rolle?
Presupunem că avem o funcție derivabilă pe un interval. Mai întâi rezolvăm ecuația f′(x)=0 și așezăm soluțiile în ordine:
c₁ < c₂ < ... < cₖ.
Aceste puncte împart domeniul în intervale pe care derivata își păstrează semnul, iar funcția este monotonă. Apoi calculăm valorile funcției în punctele critice și limitele la capetele domeniului. Lista obținută este numită, în practica școlară, șirul lui Rolle:
limita din stânga, f(c₁), f(c₂), ..., f(cₖ), limita din dreapta.
Semnele și ordinea acestor valori arată de câte ori poate graficul să intersecteze axa Ox sau o dreaptă orizontală y=m. Explicația este simplă: între două puncte critice consecutive, funcția este monotonă, deci nu poate trece de mai multe ori prin aceeași valoare fără să apară un nou punct critic.
Șirul lui Rolle nu este același lucru cu teorema lui Rolle
Teorema lui Rolle spune că, dacă o funcție este continuă pe [a,b], derivabilă pe (a,b) și are f(a)=f(b), atunci există cel puțin un punct c din (a,b) pentru care f′(c)=0.
Șirul lui Rolle este o metodă de studiu al unei funcții: găsești toate punctele în care derivata este zero, stabilești monotonia, calculezi valorile și limitele importante, apoi numeri soluțiile unei ecuații. Teorema explică de ce două rădăcini distincte ale funcției obligă derivata să aibă între ele o rădăcină; șirul folosește această idee într-o schemă practică.
De ce trebuie să îl știi pentru Bac M1 și M2?
- Te ajută să demonstrezi că o ecuație are o singură soluție.
- Te ajută să găsești valorile parametrului m pentru care ecuația f(x)=m are două sau trei soluții.
- Leagă într-un singur argument derivata, tabelul de semne, monotonia, extremele și limitele.
- Îți arată ce trebuie justificat în scris, nu doar ce se vede intuitiv pe un desen.
- Este frecvent util la Subiectul al III-lea, problema de analiză matematică.
La M2 apar adesea factorizări și cerințe mai directe. La M1, aceeași schemă poate fi ascunsă într-o ecuație cu parametru, într-o problemă despre numărul de soluții sau într-o funcție auxiliară g(x)=f(x)−m. Pașii de bază rămân aceiași.
Problema de la Bac 2026
Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x)=eˣ(2x²−3x). Cerințele sunt:
- să se determine și să se factorizeze derivata;
- să se calculeze limita raportului (f(x)−x)/(f(x)+x), când x tinde la 0;
- să se determine abscisele punctelor în care tangenta la grafic are panta 0.
a) Calculul derivatei
Funcția este produsul dintre eˣ și polinomul 2x²−3x. Aplicăm regula derivării produsului:
(u·v)′=u′·v+u·v′.
Știm că (eˣ)′=eˣ și (2x²−3x)′=4x−3. Prin urmare:
f′(x)=eˣ(2x²−3x)+eˣ(4x−3).
Scoatem factorul comun eˣ:
f′(x)=eˣ(2x²+x−3).
Factorizăm trinomul:
2x²+x−3=(2x+3)(x−1).
Rezultă forma cerută:
f′(x)=eˣ(2x+3)(x−1), pentru orice x∈ℝ.
O verificare rapidă este să dezvoltăm: (2x+3)(x−1)=2x²+x−3. Factorizarea este esențială deoarece ne arată imediat unde derivata se anulează și ce semn are.
b) Calculul limitei
Trebuie calculată:
lim x→0 [(f(x)−x)/(f(x)+x)].
Avem f(0)=e⁰·0=0. Atât numărătorul, cât și numitorul tind la 0, deci apare forma nedeterminată 0/0. Putem aplica regula lui l’Hospital:
lim x→0 [(f(x)−x)/(f(x)+x)] = lim x→0 [(f′(x)−1)/(f′(x)+1)].
Din formula obținută la punctul a):
f′(0)=e⁰(2·0+3)(0−1)=1·3·(−1)=−3.
Înlocuim:
(f′(0)−1)/(f′(0)+1)=(−3−1)/(−3+1)=(−4)/(−2)=2.
Așadar:
lim x→0 [(f(x)−x)/(f(x)+x)]=2.
Greșeala frecventă este să înlocuiești direct x=0 și să te oprești la 0/0. Aceasta nu este valoarea limitei, ci doar semnalul că trebuie folosită o transformare, o limită remarcabilă sau l’Hospital.
c) Tangentele cu panta egală cu 0
Panta tangentei la graficul lui f în punctul de abscisă a este f′(a). Condiția din problemă devine:
f′(a)=0.
Folosim forma factorizată:
eᵃ(2a+3)(a−1)=0.
Funcția exponențială este strict pozitivă: eᵃ>0 pentru orice număr real a. Ea nu poate produce valoarea zero. Rămân cele două ecuații liniare:
- 2a+3=0, de unde a=−3/2;
- a−1=0, de unde a=1.
Răspunsul este:
a∈{−3/2, 1}.
Putem merge un pas mai departe. Pentru a=−3/2, valoarea funcției este f(−3/2)=9/e^(3/2), deci tangenta orizontală are ecuația y=9/e^(3/2). Pentru a=1, avem f(1)=−e, deci a doua tangentă orizontală este y=−e.
Cum construim șirul lui Rolle pentru această funcție?
Punctul c) ne-a dat exact punctele critice necesare:
c₁=−3/2 și c₂=1.
Deoarece eˣ este pozitiv, semnul lui f′ este semnul produsului (2x+3)(x−1):
- f′(x)>0 pe (−∞,−3/2), deci f este crescătoare;
- f′(x)<0 pe (−3/2,1), deci f este descrescătoare;
- f′(x)>0 pe (1,+∞), deci f este crescătoare.
Calculăm valorile și limitele:
- lim x→−∞ f(x)=0, cu valori pozitive suficient de aproape de −∞;
- f(−3/2)=9/e^(3/2)>0;
- f(1)=−e<0;
- lim x→+∞ f(x)=+∞.
Șirul lui Rolle este, prin urmare:
0⁺, 9/e^(3/2), −e, +∞.
Vedem două schimbări de semn: de la valoarea pozitivă a maximului la valoarea negativă a minimului și apoi de la valoarea negativă la +∞. Funcția are astfel două zerouri reale. În cazul de față le putem vedea și direct din:
f(x)=eˣ·x·(2x−3)=0.
Cum eˣ nu se anulează, rădăcinile sunt x=0 și x=3/2. Acest control direct confirmă concluzia șirului lui Rolle.
Schema de reținut la examen
- Scrie domeniul funcției.
- Calculează și factorizează derivata.
- Rezolvă complet ecuația f′(x)=0.
- Fă tabelul de semne al derivatei și stabilește monotonia.
- Calculează valorile funcției în punctele critice.
- Calculează limitele la capetele domeniului.
- Construiește șirul lui Rolle și numără intersecțiile cerute.
- Scrie concluzia exact în limbajul problemei.
Greșeli frecvente care costă puncte
- Să uiți că eˣ este întotdeauna pozitiv și nu poate fi zero.
- Să rezolvi f(x)=0 când problema cere f′(x)=0.
- Să găsești punctele critice fără să justifici semnul derivatei pe intervale.
- Să confunzi abscisa a cu punctul complet (a,f(a)).
- Să spui doar „se vede din grafic” fără continuitate, monotonie și valori calculate.
- Să aplici l’Hospital fără să observi mai întâi forma nedeterminată 0/0.
Concluzie
Punctul c) al problemei din Bac 2026 este o versiune scurtă a primului pas din șirul lui Rolle: găsirea rădăcinilor derivatei. Dacă stăpânești această schemă, poți trece de la simpla calculare a derivatei la cerințe mai valoroase: numărul de soluții, unicitate, extreme și ecuații cu parametru.
Pentru exerciții asemănătoare poți compara profesorii de matematică disponibili sau poți consulta pagina de pregătire pentru Bacalaureat.